Sannolikhet – så räknar du ut chansen, med tärning, kort och roulette
Sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att något händer, från 0 för det omöjliga till 1 för det säkra, eller uttryckt som 0–100 %. På den här sidan får du se hur du räknar ut sannolikhet med tärning, kort och roulette som exempel, med en kalkylator för svitar.
Gynnsamma delat med möjliga utfall
Du räknar ut sannolikheten genom att dela antalet gynnsamma utfall med antalet möjliga utfall. Formeln är P(A) = antal gynnsamma utfall / antal möjliga utfall. Gynnsamma utfall är de resultat du vill räkna chansen för. Regeln fungerar bara när alla möjliga utfall är lika sannolika.
Ta tärningen: vill du få en sexa finns ett gynnsamt utfall av sex möjliga. Då blir sannolikheten 1/6 = 16,67 %. Du kan kasta en digital tärning och se fördelningen.
I en kortlek med 52 kort finns fyra ess. Sannolikheten att dra ett ess blir därför 4/52 = 1/13, cirka 7,69 %.
Europeisk roulette har 37 fack: 1–36 och noll. Av dem är 18 röda, så sannolikheten för rött blir 18/37 = 48,65 %. Nollan ingår bland de möjliga utfallen och gör att chansen inte blir 50 %.
Du kan skriva sannolikheter som bråk, decimaltal eller procent. Exempelvis betyder 1/4 = 0,25 = 25 % samma sak: olika sätt att uttrycka samma chans.
Så räknar du ut sannolikhet steg för steg
Så här fungerar det när du vill få summan 7 med två tärningar.
- Bestäm vad du räknar som ett utfall. Med två tärningar är varje par av siffror ett utfall, till exempel 3 på den ena och 4 på den andra.
- Räkna de möjliga utfallen. Varje tärning har sex sidor, så du får 6 × 6 = 36 möjliga par.
- Räkna de gynnsamma utfallen. Summan 7 kommer på sex sätt: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 och 6+1.
- Dela gynnsamma utfall med möjliga. Chansen blir 6/36 = 1/6 = 16,67 %.
Det vanliga misstaget är att räkna summorna 2–12 som elva lika sannolika utfall. Men summan 2 kommer bara på ett sätt, med sannolikheten 1/36, medan summan 7 kommer på sex sätt. Räkna alltså paren, inte bara summorna.
Komplementet och chansen för ”minst en gång”
Chansen att något händer minst en gång räknar du enklast ut genom att ta ett minus chansen att det aldrig händer. Det är komplementregeln: P(inte A) = 1 − P(A).
Om försöken är oberoende blir formeln 1 − (1 − p)^n, där p är chansen vid ett försök och n är antalet försök. Uttrycket (1 − p)^n ger chansen att händelsen uteblir varje gång. När du drar bort den från ett får du chansen att händelsen inträffar minst en gång.
Med en tärning är chansen att inte få en sexa 5/6 per kast. För fyra kast räknar du därför 1 − (5/6)^4 = 51,77 %.
Den franske spelaren Chevalier de Méré (Antoine Gombaud) misstänkte att minst en sexa på fyra kast var ett bättre vad än minst en dubbelsexa på 24 kast med två tärningar. Han kunde inte visa varför och frågade Blaise Pascal, som räknade ut det och gav honom rätt.
För dubbelsexan blir chansen 1 − (35/36)^24 = 49,14 %; med 25 kast blir den 50,55 %. Intuitionen säger att 24 försök med chansen 1/36 borde motsvara fyra med chansen 1/6, men chanserna läggs inte ihop rakt av.
Räkna själv med svitkalkylatorn
Med svitkalkylatorn räknar du ut chansen att något händer minst en gång på N försök eller alla N gångerna i rad. Den räknar med oberoende försök och visar också att nästa försök har samma chans som förut.
Prova med röd i europeisk roulette: chansen är 48,65 % per försök, men hur stor är chansen att få röd tio gånger i rad? Du kan också räkna på en sexa, med 16,667 % chans, på fyra kast.
Oberoende händelser: multiplicera chanserna
För oberoende händelser räknar du ut chansen att båda inträffar genom att multiplicera deras sannolikheter: P(A och B) = P(A) × P(B). Oberoende betyder att den ena händelsen inte påverkar den andra, som vid två tärningskast eller två snurr på ett roulettehjul.
Vill du få två sexor med två tärningar blir uträkningen 1/6 × 1/6 = 1/36 = 2,78 %. Därför multiplicerar du chanserna i stället för att lägga ihop dem.
Samma princip gäller för röd tio gånger i rad i europeisk roulette: (18/37)10 = 0,074 %, ungefär 1 på 1 347. Uträkningen förutsätter ett rättvist hjul med 37 fack och gäller hela följden, inte ett enskilt snurr. På sidan om oddsen för varje rouletteinsats kan du läsa vidare om chanserna i roulette.
Betingad sannolikhet: när du redan vet något
Betingad sannolikhet är chansen för en händelse när du redan vet att något annat har hänt. Den skrivs P(A|B), där A är det du vill räkna på och B är det du vet. Formeln är P(A|B) = P(A och B) / P(B): du delar chansen att både A och B händer med chansen att B händer.
Med två tärningar är chansen att summan blir minst 10 från början 6/36 = 16,67 %. Men om du vet att minst en tärning visar sexa återstår bara 11 möjliga kombinationer, och fem av dem ger minst 10: 4+6, 5+6, 6+4, 6+5 och 6+6. Då blir chansen 5/11 = 45,45 %: informationen gör att du räknar på en mindre grupp möjliga utfall.
Med kort utan återläggning förändrar själva dragningen vad som finns kvar. Om första kortet är ett ess återstår 3 ess bland 51 kort, så chansen att även andra kortet är ett ess blir 3/51 = 5,88 %. Kortdragningarna är alltså beroende händelser, medan tärningarna är oberoende.
Att få två ess direkt är en annan fråga än att få ett ess till när det första redan ligger där. Från början räknar du 4/52 × 3/51 = 1/221, cirka 0,45 %. Det är också chansen att få två ess på hand i Texas Hold’em, ett exempel bland sannolikheterna för olika pokerhänder.
Träddiagram: rita upp chansen gren för gren
Du läser ett träddiagram genom att multiplicera chanserna längs en gren och addera olika grenar som leder till samma resultat. Varje steg blir en förgrening, med chansen skriven på grenen.
Ta två kort ur en vanlig kortlek, utan att lägga tillbaka det första. Chansen att första kortet är hjärter är 13/52. Om det första var hjärter återstår färre hjärter och färre kort: chansen för hjärter igen är 12/51. Längs den vägen multiplicerar du: 13/52 × 12/51 = 1/17, cirka 5,88 % för två hjärter.
Vill du i stället ha exakt ett hjärter finns två vägar: hjärter först och sedan något annat, eller tvärtom. Multiplicera längs varje väg och addera sedan: (13/52 × 39/51) + (39/52 × 13/51) = 2 × 507/2652 = 1014/2652, cirka 38,24 %.
Att summera grenarna som leder till samma resultat kallas lagen om total sannolikhet. Som kontroll ska alla grenar från samma punkt tillsammans summera till 1.
Spelarens felslut: slumpen har inget minne
Spelarens felslut är tron att ett utfall som inte har kommit på länge ”är på väg”, trots att försöken är oberoende. Du ser en rad resultat och tänker att slumpen snart måste jämna ut dem. Men tidigare utfall ändrar inte chansen i nästa försök.
Det mest kända exemplet kommer från kasinot i Monte Carlo den 18 augusti 1913. Kulan landade på svart 26 gånger i rad, och spelare förlorade miljontals franc på att satsa mot svart.
Chansen för 26 svarta i rad på ett hjul med 37 fack är (18/37) upphöjt till 26, ungefär 1 på 137 miljoner. Men efter 25 svarta var chansen för svart i det 26:e snurret fortfarande 18/37 = 48,65 %. En osannolik svit ändrar inte chansen i nästa snurr.
Tärningen visar samma sak: efter fem kast utan sexa är chansen för sexa fortfarande 1/6. Sexan har inte kommit närmare bara för att du har väntat på den. Samma skillnad gäller när du jämför casinospelen med störst vinstchans: chansen för en hel följd är inte samma sak som chansen i nästa försök.
Väntevärde: bron från sannolikhet till spel
Väntevärdet kopplar sannolikhet till spel genom att visa det genomsnittliga resultatet per försök i det långa loppet: summan av varje utfall gånger dess chans. Du räknar alltså chans × utfall för varje möjligt resultat och lägger ihop svaren.
Med en tärning blir beräkningen (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Du kan aldrig slå 3,5 i ett enskilt kast, men över många kast är det medelvärdet.
Satsar du 100 kr på röd i europeisk roulette, som betalar 1:1, blir väntevärdet 18/37 × 100 − 19/37 × 100 = −2,70 kr per spel i snitt. Resultatet betyder en genomsnittlig förlust, inte att varje spel kostar exakt 2,70 kr.
På en enskild siffra betalar roulette 35:1. Med 100 kr i insats blir uträkningen 1/37 × 3 500 − 36/37 × 100 = −2,70 kr. Husets fördel är samma, 2,70 procent, men svängningarna är mycket större.
Enligt Wizard of Odds är husets fördel 1,41 procent för Pass Line bland insatserna i craps och 1,06 procent för Banker i baccarat. Samma källa anger husets fördel i blackjack till cirka 0,5 procent med grundstrategi, men regelvarianten spelar roll. Väntevärdet gör det möjligt att jämföra spelen trots att resultaten kan svänga olika mycket.
Från spelbordet till matematiken
Vägen från spelbordet till matematiken gick genom frågor om odds och fördelning av potten i hasardspel där slumpen avgör. Den italienske läkaren och matematikern Gerolamo Cardano skrev omkring 1564 Liber de ludo aleae, Boken om tärningsspel. Boken trycktes först 1663 och räknas som den första systematiska behandlingen av sannolikhetsteori, men beskriver också hur man fuskar. Cardano definierade odds som förhållandet mellan gynnsamma och ogynnsamma utfall.
Omkring 1654 frågade Chevalier de Méré Blaise Pascal hur potten skulle delas när ett spel avbröts i förtid: det så kallade poängproblemet. Pascal och Pierre de Fermat löste frågan i en brevväxling samma år. Lösningen var att utgå från hur många omgångar varje spelare hade kvar att vinna, inte hur många de redan vunnit. Christiaan Huygens byggde vidare på Pascals idéer i De ratiociniis in ludo aleae, som gavs ut 1657.
I Sverige är Tage Danielssons monolog Om sannolikhet från 1979 känd. Den skrevs efter kärnkraftsolyckan i Harrisburg och handlar om hur ”försumbar” sannolikheten för en sådan olycka ansågs vara.
Vanliga frågor
Vad är sannolikhet?
Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1, eller 0–100 %, som anger hur troligt det är att något händer. Ett halvt är alltså 0,5 eller 50 %.
Hur räknar man ut sannolikhet?
Du räknar ut sannolikheten genom att dela antalet gynnsamma utfall med antalet möjliga utfall, om alla utfall är lika sannolika. För ett ess ur en kortlek blir det 4/52: antalet ess delat med antalet kort.
Vad är formeln för betingad sannolikhet?
Formeln för betingad sannolikhet är P(A|B) = P(A och B) / P(B). Du delar sannolikheten för att både A och B inträffar med sannolikheten för B.
Vad är skillnaden mellan sannolikhet och odds?
Sannolikhet jämför gynnsamma utfall med möjliga utfall, medan odds jämför gynnsamma med ogynnsamma utfall. En sexa på tärningen har därför sannolikheten 1/6 men oddsen 1 mot 5.
Vad handlar Tage Danielssons monolog om sannolikhet om?
Tage Danielssons monolog ”Om sannolikhet” handlar om att något med ”försumbar” sannolikhet ändå kan hända. Monologen skrevs 1979 efter kärnkraftsolyckan i Harrisburg.